Freitag, 10. September 2010

Dead Man Walking IV: Das karge Brot des Mathematikers

Das "Dead Man Walking Modell" ist ja nun ein typisches Wachstumsmodell. Interessant ist es nun natürlich, vergleichend die in der Standardökomie aber tatsächlich verwendeten Modelle zu untersuchen. Die Wikipedia gibt dafür, dankenswerterweise, einen guten und schnellen Überblick, ohne sich gleich durch massenhafte Ökonomie-Schmöker wälzen zu müssen.

Vorab möchte ich die bezeichnende Schlussbemerkung des obigen Artikels zitieren: "Diese Formel wird vom Internationalen Währungsfonds in seiner Studie von 2005 zum Investitionsverhalten benutzt. Er spricht dabei von „Standard-neoklassischem Wachstumsmodell“. Wobei allerdings die meisten Gleichungen tautologisch sind, also für ganz unterschiedliche Wachstumsmodelle, also auch für das Harrod-Domar-Modell gelten."

Nun, wie sieht denn nun dieses tautologisch-standard-neoklassische „allgemeingültige“ Wachstumsmodell aus, dass die Grundlage aller tatsächlichen Entscheidungen für das Weltwirtschaftssystem ist?

Zunächst schauen wir uns das Modell, in der dort üblichen Schreibweise an:

(1) Y_t = (1+g)*Y_(t-1)

(2) I_t = (1+g)*I_(t-1)

(3) K_t = (1+g)*K_(t-1)

Dabei sind die Größen folgendermaßen definiert: Y ist das Bruttoinlandsprodukt, also das BIP. I ist die Bruttoinvestition und K ist der Kapitalstock. Die Größe g ist das jährliche Wachstum des BIP. Der Index _t heißt immer das letzte Bezugsjahr, _(t-1) dann natürlich das jeweils voran gegangene Jahr.

Aus diesen Gleichungen werden dann wichtige Folgerungen gezogen, die endlich in dem so genannten Koeffizienten der Kapitalwirksamkeit, engl.: productivity of debt: i* = I_t/K_t = ..., also Bruttoinvestitionen pro Aktiva bzw. Passiva gipfelt.

Bilder sprechen mehr als tausend Worte, daher hier zwei Bilder des identischen Umstands. Einmal das Bild (Quelle Wikipedia), das die Währungsexperten nach obiger Formel eigentlich erwarten würden:



Und nun das Bild, das nach den hoch offiziellen Daten der US-Census-Behörde (Quelle: SWARMUSA) in Wahrheit vorliegt:



Fällt ihnen da was auf? Zwar sind die beiden Graphen unterschiedlich skaliert, so oben offizielle Version logarithmisch, was die Dramatik des Effektes sogar noch stark unterdrückt. Nun, beim Ersten geht es jedenfalls mächtig aufwärts, bei Zweitem dagegen mächtig abwärts! Da läuft wohl etwas grausam schief. Denn die obere Graphik ist das, was unsere ökonomischen und politischen Verwalter als eisernen Maßstab für ihre Entscheidungen nehmen.

Warum das so problematisch ist, dass sieht man, wenn man die klassische Herleitung des Wachstumsmodells des Internationalen Währungsfonds einmal in die Notation des DMWM übersetzt:

(1’) B_t = (1+pw)*B_(t-1)

(2’) pn*A_t = (1+pw)*pn*A_(t-1)

(3’) A_t = (1+pw)*A_(t-1)

Das sind die klassischen Formeln in unserer DMWM-Notation. Die Bedeutung der Größen B (BIP), A (Aktiva=Passiva), pn (Investition) können Sie dem Beitrag DMWM entnehmen, den Wert Wirtschaftswachstum pw dem Beitrag zur Ökonomie auf meiner Homepage.

Schon bei der Aufstellung dieser Gleichungen sieht man die zwei Fehler der Klassiker: Erstens wird vereinfachend angenommen, dass alle Größen mit gleicher Rate g (das ist unser pw) wachsen. Nun, Vereinfachungen in Modellen sind nicht grundsätzlich zu verteufeln, aber man muss sich immer dabei überlegen, ob eine solche Vereinfachung angemessen und praktikabel ist. Aber schon ein einfacher Blick auf die Wachstumsraten von BIP und Aktiva über einen längeren Zeitraum zeigt, dass dies unmöglich gerecht fertigt ist:



Die Wachstumsraten sind klar und deutlich unterschiedlich. Aber selbst ohne die Kenntnis der Graphik ist es äußerst gewagt, eine solche vereinfachende Annahme hier einfließen zu lassen. Denn jedem Banker ist klar, das die Kapitaleigner immer etwas mehr haben wollen, als das Wirtschaftswachstum alleine hergeben würde. Und die dann unweigerlich einsetzende zunehmende Spreizung, nicht zuletzt wegen des Zinseszinseffektes, ist nun wirklich kein Geheimnis.

Aber es kommt noch viel schlimmer: Die drei Gleichung stellen nun ein Gleichungssystem dar, aus dem weitere Folgerungen hergeleitet werden. Wir sehen aber sofort, dass das System singulär ist, denn Gleichung (2) und (3) sind nicht unabhängig, sondern unterscheiden sich nur um einen Faktor, den man einfach ausdividieren kann. Die Folgerungen aus (hier unwissentlich) singulären Gleichungssystemen sind aber immer dubios, um es mal ganz vorsichtig auszudrücken. Mathematisch gesehen sind sie prinzipiell so sinnlos wie unzulässig.

Eigentlich muss man die Singularität des Gleichungssystems schon sehen, wenn man sich die Vereinfachung des Wachstumskoeffizienten g anschaut. Denn es ist schon der Erfahrung widersprechend, dass der Zins der Kapitalwirtschaft gleich dem Wirtschaftswachstum ist, denn er ist grundsätzlich immer höher, wie folgendes Bild zeigt:



Zweitens setzt die Verwendung eines identischen g in (1) und (3) voraus, dass BIP und Kapitalstock dauerhaft die gleiche Größe besitzen. Denn andernfalls wächst oder schrumpft der jeweils andere exponentiell stärker. Und dann sind notwendigerweise auch die g unterschiedlich. Man könnte hier jetzt frecher weise unterstellen, dass eben nur der Anteil des Kapitalstockes der vom BIP tatsächlich gebraucht wird verzinst würde, und der Rest eben nicht, um das Gleichungssystem zu retten. Aber natürlich weiß jeder, das alles Kapital verzinst sein will, nicht nur das was für Investitionen in die Realwirtschaft tatsächlich gebraucht wird. So ein innerer Widerspruch ist symptomatisch für ein singuläres Gleichungssysteme.

Das Problem, genau an dieser Stelle ist, dass die Gleichungen des BIP und des Kapitalstockes als unabhängig und nicht wechselwirkend betrachtet werden. Das kann nicht funktionieren, und man muss es eigentlich schon sehen, wenn man versucht die Gleichheit aller drei g's zu begründen. Aber man sieht es spätestens, wenn man die wundersam anmutende, völlig unabhängige gleiche Wachstumsgleichung

(1’) Y_t = (1+g)*Y_(t-1) = Y_(t-1) + g* Y_(t-1)
(3’) K_t = (1+g)*K_(t-1) = K_(t-1) + g* K_(t-1)

umschreibt in die (mit DeltaT=1 Jahr) völlig äquivalente Differentialgleichung:

(1’) dY/dt = g*Y
(3’) dK/dt = g*K

Die hat natürlich eine simple Lösung, nämlich einfach

(1’) Y(t)=Y0*exp(g*t)
(3’) K(t)=K0*exp(g*t)

d.h. beide Größen wachsen, unabhängig voneinander, bis in alle Ewigkeit auf beliebige Größen. Spätestens an diesem Punkt müsste einem die völlige Unsinnigkeit des Modells auffallen. Wenn man es sich mit der Modellbildung aber nicht so einfach macht, dann kommt man ganz schnell auf die einzig vernünftige Idee, nämlich dass die Gleichungen (1) und (3) verkoppelt werden müssen. Denn grundsätzlich gilt erstmal

(1’) Y_t = a*f(Y_(t-1)) + b*g(K_(t-1))
(3’) K_t = c*h(K_(t-1)) + d*j(Y_(t-1))

Da wir aber von einem linearem Verhalten ausgehen können, schreiben wir

(1’) Y_t = a*Y_(t-1) + b*K_(t-1)
(3’) K_t = c*K_(t-1)) + d*Y_(t-1)

Das sieht jetzt schon so ähnlich aus, wie bei den Klassikern, aber jetzt kommt der wichtige Schritt, wo die Ökonomie das Wasser lässt: Da das BIP in aller Regel Kapital finanziert wächst, kann man a=0 setzen. Es kann zwar aus sich selbst wachsen, aber aus eigenem Saft, etwa durch Steigerung der Arbeitskraft, geht das kaum und nur sehr langsam. (Zudem ist es noch nicht einmal das, was wir untersuchen wollen. Aber genau den Unfug haben die Klassiker gemacht: Die haben b=0 gesetzt, und weils so schön einfach war, gleich d auch noch.) Also schreiben wir richtigerweise:

(1’) Y_t = b*K_(t-1)
(3’) K_t = c*K_(t-1)) + d*Y_(t-1)

Jetzt sind die Gleichungen nämlich korrekt verkoppelt. Jetzt fehlen uns nur noch die unbekannten b,c,d. Die können grundsätzlich natürlich auch wieder Funktion vieler Einflussgrössen sein, so insbesondere f(t,b,c,d,Y,K). An dieser Stelle dürfen wir jetzt aber tatsächlich ein paar sinnvolle Vereinfachungen vornehmen. Und, wir schreiben die Gleichung jetzt gleich von einer stümperhaften Differenzengleichung in eine mathematisch nahrhaftere Differentialgleichung um:

(1’) dY/dt = b*K
(3’) dK/dt = c*K + d*Y

Nun, d ist offensichtlich die volkswirtschaftliche Sparquote ps, die natürlich auch den Kapitalstock erhöht. Bleiben noch b und c. Die sind nun aus einsehbaren Gründen gleich groß, aber entgegengesetzt, und stellen die Netto- bzw. Bruttoinvestitionsquote pn dar (Netto oder Brutto, je nachdem ob man es aus Kapital oder BIP-Sicht betrachtet). Also:

(1’) dY/dt = -pn*K
(3’) dK/dt = pn*K + ps*Y

pn als Funktion der Zeit pn(t) ist jetzt nur noch der Erfahrung entsprechend adäquat zu modellieren, siehe z.B. unser DMWM, und man ist fertig.

Der Unterschied zwischen der fälschlicherweise erwarteten und der tatsächlich vorliegen Kapitaleffektivität, ist mehr als eine Marginalität. Denn dadurch wird die Wirksamkeit der zur zeitigen riesigen Kapitalspritzen in die Wirtschaft der USA und Europas bei weitem überschätzt. Man glaubt daher nämlich felsenfest, dass man die Funktion (3) kräftig füttern müsste, damit dann automatisch die Funktion (2) ansteigt und daraus folgt, dass dann auch die Funktion (1), das BIP, wachsen müsste. Nun sind aber gerade Funktion (3) und (2) singulär, und damit das ganze Gedankengebäude hinfällig.

In Wahrheit ist der Koeffizient der Kapitalwirksamkeit i*=dY/dK bzw. =dB/dA in unserer Notation. Und da nun halt mal dA tendenziell größer als dB, und, dB inzwischen Null oder sogar negativ auf mittelfristige Sicht ist, sind die exzessiven Kapitalspritzen der Gegenwart, entgegen ihrer Intention, völlig kontraproduktiv.

Kennen Sie den Spruch: "Mutter, es kommen mehr Gäste als erwartet. Schütt' doch noch mehr Wasser in die Suppe!"? Nun, es werden eben nicht mehr Leute satt, wenn man einfach einen Eimer Wasser in die Suppe kippt. Und wenn dann irgendwann die Hälfte der Welt verhungert ist, und sie dann noch einen Enkel haben der partout keine Mathe lernen will, dann sagen Sie ihm: „Liebes Kind, die halbe Welt ist verhungert, weil es Leute wie dich gibt, die nicht gerne Mathe gemacht haben!“.

Das es viel hilft, kann ich allerdings nicht versprechen.

Kommentare:

  1. Hallo,

    ich versuche gerade Ihr Modell zu verstehen (ich finde den Ansatz schon einmal gut, die VWL systemisch zu betrachten), bleibe aber im Moment noch bei der etwas impliziert dargestellten Gleichheit von Kapitalstock und Aktiva hängen.

    "Der Kapitalstock gibt das jahresdurchschnittliche Bruttoanlagevermögen einer Volkswirtschaft an" sagt Wikipedia. Wenn ich einmal davon ausgehe, das hier reales Bruttoanlagevermögen gemeint ist, würde ich meinen, das dies nicht gleich Aktiva ist. Wenn die Deutsche Bank der Commerzbank €1000 leiht, erhöht das Aktiva und Passive beider Banken, addiert also €2000 zu den Aktiva, aber der Kapitalstock bleibt doch unverändert?

    Auf ihrer Homepage habe ich den Artikel über die Wirtschaftkrise gelesen, auch hier hätte ich noch eine Verständnisfrage: Sie teilen das Geldvermögen in V_t und U_t setzen U_t (Umlaufendes Geld) an einer Stelle gleich dem BIP, und untersuchen dann U_t/V_t < 1. Auch hier die Frage: Aus welchem Gedankengang ergibt sich die Gleichheit zwischen U_t und dem BIP?

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  2. Hallo Michael,

    danke für Ihre Fragen, die ich gerne beantworte. Denn aus Fragen entstehen Antworten, die für mich manchmal genauso wichtig sind, wie für den Fragesteller.

    Erste Frage: Das Bruttoanlagevermögen behandelt nur einen Teil der gesamten Aktiva. Unter Bruttoanlagevermögen eines Betriebes versteht man drei Teile, so wie die Wikipedia schreibt (i) immatrielle Werte wie Patente und dergl., (ii) materielle Werte wie Maschinen, Gebäude, Grundstücke etc. und schließlich (iii) Finanzanlagen und Forderungen.

    Nun, das sind erstmal betriebswirtschaftliche Größen, die man nicht unbedenklich in ein volkswirtschaftliches Wachstumsmodell übernehmen kann. In obigen Punkten sind nämlich (i) und (ii) ein Teil des BIP und (iii) ein Teil der Gesamtaktiva. (By the way: Im klassischen Wachstumsmodell der Ökonomie wird allerdings faktisch so getan, als ob der Anteil der Gesamtaktiva, der tatsächlich ins BIP fließt von Bedeutung, der Anteil der Aktiva der in Geschäfte ohne unmittelbare Beteiligung der Realwirtschaft aber völlig bedeutungslos wäre. Was allerdings so viel bedeutet, als würde zweiter Teil der Aktiva keine Verzinsung aus, und keine Ansprüche auf, BIP erzeugen.)

    Die zweite Frage zielt auf die Bilanzposten Aktiva/Passiva. Die sind natürlich immer ausgeglichen, im wesentlichen sind die Aktiva die angelegten Kredite und Papiere, die Zinsen bringen sollen, und Passiva die entsprechenden Einlagen der Kunden. Wenn also Bank A der Bank B etwas gibt, dann ist das für Bank A ein Aktiva Posten und für Bank B ein Passiva Posten.

    Dritte Frage: Zunächst mal zur Historie der beiden Modelle (Erstens „Wirtschaftskrisen“ auf meiner Homepage und Zweitens „Dead Man Walking Modell“ auf meinem Blog). Ersteres dient nur der Berechnung einer kritischen Zeit einer Volkswirtschaft, die mit Zins- und Zinseszins ihres Geldsystems behaftet ist. Es ist also nur eine Daumenregel. Ein echtes Wachstumsmodell dagegen ist das zweite DMWM. Allerdings kann man die kritische Zeit Tc im DMWM auf natürliche Weise wieder finden. Ad hoc haben sie aber Nichts mit einander zu tun.

    Aber nun zu dem älteren Daumenregel-Modell für die kritische Zeit: Zunächst mal soll die gesamte Geldmenge G=W+V sein. Das heißt, die besteht aus dem Äquivalenzwerten des ursprünglichen BIP (W für Real- Wirtschaft) plus einem Vermögen von V (Passiva/Aktiva der Banken zur Kreditvergabe). Im Falle der Einführung der DM gab man jedem 40 Mark und den Banken einen Kapitalstock zur Kreditvergabe. Das reichte dann erstmal um mit U(0)=W(0) das aktuelle BIP gegenseitig zu tauschen (sprich kaufen) und mit V(0) das nächst jährliche Wachstum vor zu finanzieren. Der Rest ist dann nur noch die Überlegung, in welchem Maße das Geldäquivalent des BIP (denn in Geld wird es gemessen, obwohl es „nur“ Gemüse, Autos und Fahrräder etc. pp. sind) im Verhältnis zum Geldäquivalent der Vermögen (die sowieso in Geld gemessen werden) wächst. Da tauchen dann die Eingangsvariablen nicht mehr explicit auf, sondern nur der Wert Vrel=..., das ist die dimensionslose Verhältniszahl zwischen dem Geldwert der Vermögen V alleine und dem Geldwert der gesamten Volkswirtschaft W + V auf der anderen Seite.

    Die dimensionslose Verhältniszahl ergibt damit den „Bedeutungswert“ der Vermögen für die komplette Volkswirtschaft an. Dieser Wert steigt von knapp über Null auf endlich 100%, nach Tc ist der Bedeutungswert exakt 50%. Die Zeit Tc ist also die Zeit, nach der die Einkommen aus Vermögen genauso bedeutungsvoll sind, wie die Einkommen aus Arbeit. Danach steigen sie, zur Belastung der Arbeit, unaufhaltsam weiter an.

    Und da ist der Punkt, wo mir Ihre Frage ebenfalls weiter hilft. Denn ich sollte das Paper (das ich kurz nach der DotCom Krise verfasst hatte, um meinen Arbeitskollegen klar zu machen, dass auch der nächste „Aufschwung“ nur von kurzer Dauer sein kann) noch einmal überarbeiten und klar stellen. Denn so ist der Text in der Tat nicht leicht verständlich.

    Danke für die Frage also!

    Beste Grüße, Heribert.

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